2015년08월16일 67번

[사회통계]
확률변수 X는 평균이 μ이고 표준편차가 σ(≠0)인 정규분포를 따른다. 아래 설명 중 틀린 것은?

① 왜도는 0이다.
② X의 표준화된 확률변수는 표준정규분포를 따른다.
③ P(μ-σ< X < μ+σ)=0.683 이다.
④ X2은 자유도가 2인 카이제곱분포를 따른다.

(정답률: 48%)

문제 해설

"왜도는 0이다."가 틀린 설명이다. 정규분포의 왜도는 항상 0이 아니라, 평균을 중심으로 좌우 대칭인 분포일 때 0이 된다.

X의 표준화된 확률변수는 표준정규분포를 따르므로, Z=(X-μ)/σ라고 하면 Z는 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 따른다.

P(μ-σ< X < μ+σ)=0.683은 정규분포의 특징 중 하나로, 평균에서 표준편차의 범위 내에 대부분의 데이터가 분포한다는 것을 나타낸다.

X^2은 자유도가 2인 카이제곱분포를 따른다. 이는 X를 따르는 정규분포에서 X-μ을 표준화한 값(Z)의 제곱이 자유도가 1인 카이제곱분포를 따른다는 성질을 이용하여 유도할 수 있다. 따라서 X^2은 자유도가 2인 카이제곱분포를 따른다.

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